Question

Течение процесса y = y(t) описывается уравнением y′′ = 4/(t^2 + 1)^2 , скорость процесса в момент t = 0 равна нулю, начальное состояние процесса y(0)=3. Найти состояние процесса в момент t = 5 .
Вычисления провести с точностью до 0,1.

Answer 1

У процесса y(t) известно его ускорение
$y'' = frac{4}{(t^2 + 1)^2}$

Чтобы найти уравнение самого процесса, нужно взять подряд два интеграла.
Находим скорость процесса y'(t):

$y'(t) = intlimits {frac{4}{(t^2 + 1)^2}} , dt$

Сделаем замену $t = tgx$
$dt = frac{dx}{cos^2 x}$
$(t^2+1)^2 = (tg^2 x +1)^2 = ( frac{sin^ x}{cos^2 x}+1)^2 = ( frac{sin^ x}{cos^2 x}+frac{cos^ x}{cos^2 x})^2 = frac{1}{cos^4 x}$

$intlimits {frac{4}{(t^2 + 1)^2}} , dt = 4 intlimits { frac{1}{ frac{1}{cos^4 x} }* frac{1}{cos^2 x} } , dx = 4 intlimits { cos^2 x } , dx = \ \ 4 intlimits { frac{1}{2}( cos 2x+1) } , dx = 2 ( frac{1}{2} sin 2x+x) +C = sin 2x+2x +C =$

Обратная замена

$= 2sin(arctgt)cos*arctg(t) + 2 arctgt +C = \ \ = 2 frac{x}{ sqrt{t^2+1} }frac{1}{ sqrt{t^2+1} } +2arctgt + C = 2( frac{t}{t^2+1} +arctgt) + C$

По условию, скорость процесса при t = 0 равна
$y'(0) = 2( frac{0}{0^2+1} +arctg0) + C = 0 \ \ C = 0$

Итак, скорость процесса:
$y'(t) = 2( frac{t}{t^2+1} +arctgt)$

Находим сам процесс, для чего приходится брать ещё один интеграл:
$y(t) = intlimits {2( frac{t}{t^2+1} +arctgt)} , dt$

Разобъём интеграл на два и возьмём их по отдельности:
$intlimits { frac{2t}{t^2+1} } , dx = 2 intlimits { frac{1}{2} frac{}{t^2+1} } , d(t^2+1)= ln(t^2+1) + C$

Второй интеграл будем брать по частям:
$intlimits {2 arctgt} , dt = 2tarctgt - 2intlimits {t frac{1}{t^2+1} } , dt = \ \ u =arctgt; du = frac{dx}{x^2+1} \ dv = dx; v = x \ \ =2tarctgt - 2intlimits { frac{1}{2} frac{1}{t^2+1} } , d(t^2+1) = 2tarctgt - intlimits { frac{1}{t^2+1} } , d(t^2+1) = \ \ = 2tarctgt - ln(t^2+1) + C$

Собираем вместе:
$y(t) = ln(t^2+1) + 2tarctgt - ln(t^2+1) + C = 2tarctgt +C$

Используем начальное состояние для нахождения постоянной интегрирования:
$y(0) = 2*0*arctg0 +C = 3 \ C =3$

Итак, сам процесс:
$y(t) = 2*t*arctgt +3$

Считаем состояние процесса в момент t = 5:
$y(5) = 2*5*arctg5 +3 = 10arctg5 +3 = 10* 1.37 + 3 =16.7$