Question

Номер 1 решите неравенства

Answer 1

а) $frac{x^2+5x-9}{x^2+3x-4} geq 2$
$frac{x^2+5x-9}{x^2+3x-4}-2 geq 0$
$frac{x^2+5x-9-2x^2-6x+8}{x^2+3x-4} geq 0$
$frac{-x^2-x-1}{(x+4)(x-1)} geq 0$
Числитель отрицателен при любом x, поэтому остается решить
(x + 4)(x - 1) < 0
Ответ: x ∈ (-4; 1)

б) $frac{3x^2-2x-1}{2x^2+5x+3} textless frac{2x^2-3x+1}{3x^2+7x+4}$
$frac{(x-1)(3x+1)}{(x+1)(2x+3)} - frac{(x-1)(2x-1)}{(x+1)(3x+4)} textless 0$
Выносим за скобки общие множители
$frac{x-1}{x+1}*( frac{3x+1}{2x+3} - frac{2x-1}{3x+4} ) textless 0$
$frac{x-1}{x+1}* frac{(3x+1)(3x+4)-(2x+3)(2x-1)}{(2x+3)(3x+4)} textless 0$
$frac{x-1}{x+1}* frac{9x^2+15x+4-4x^2-4x+3}{(2x+3)(3x+4)} textless 0$
$frac{x-1}{x+1}* frac{5x^2+11x+7}{(2x+3)(3x+4)} textless 0$
Решим уравнение
5x^2 + 11x + 7 = 0
D = 11^2 - 4*5*7 = 121 - 140 < 0
Оно решений не имеет, значит, трехчлен положителен при любом x.
Его можно убрать. Остается решить
$frac{x-1}{x+1}* frac{1}{(2x+3)(3x+4)} textless 0$
По методу интервалов имеем особые точки: -3/2; -4/3; -1; 1
Ответ: x ∈ (-3/2; -4/3) U (-1; 1)

в) $( frac{10}{5x-21} + frac{5x-21}{10} )^2 leq frac{25}{4}$
Избавляемся от квадрата и получаем двойное неравенство:
$- frac{5}{2} leq frac{10}{5x-21} + frac{5x-21}{10} leq frac{5}{2}$
Делаем замену $y=frac{5x-21}{10}$, получаем систему
{ y + 1/y >= -5/2
{ y + 1/y <= 5/2
Избавляемся от дробей
{ 2y^2 + 5y + 2 >= 0
{ 2y^2 - 5y + 2 <= 0
Решаем
{ D = 5^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9 = 3^2
{ D = 5^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9 = 3^2
Получаем
{ y1 = (-5 - 3)/4 = -2; y2 = (-5 + 3)/4 = -1/2
{ y3 = (5 - 3)/4 = 1/2; y4 = (5 + 3)/4 = 2
По методу интервалов
{ y ∈ (-oo; -2] U [-1/2; +oo)
{ y ∈ [1/2; 2]
Решение системы - это пересечение этих множеств.
y = (5x - 21)/10 ∈ [1/2; 2]
Находим x
5x - 21 ∈ [5; 20]
5x ∈ [26; 41]
x ∈ [26/5; 41/5]

г) x^4 - 2x^3 - 24x^2 - 40x - 16 > 0
x^4 + 2x^3 - 4x^3 - 8x^2 - 16x^2 - 32x - 8x - 16 > 0
(x + 2)(x^3 - 4x^2 - 16x - 8) > 0
(x + 2)(x^3 + 2x^2 - 6x^2 - 12x - 4x - 8) > 0
(x + 2)(x + 2)(x^2 - 6x - 4) > 0
(x + 2)^2*(x^2 - 6x - 4) > 0
(x + 2)^2 = 0 при x = -2 и больше 0 при всех остальных x.
Значит, x = -2 не принадлежит решению.
Остается решить
x^2 - 6x - 4 > 0
D = 6^2 - 4*(-4) = 36 + 16 = 52 = 4*13 = (2√13)^2
x1 = (6 - 2√13)/2 = 3 - √13 ≈ -0,6 > -2
x2 = (6 + 2√13)/2 = 3 + √13
Решение неравенства: x ∈ (-oo; 3 - √13) U (3 + √13; +oo)
Ответ: x ∈ (-oo; -2) U (-2; 3 - √13) U (3 + √13; +oo)