Question

Помогите, пожалуйста, исследовать функцию y=tg2ПХ
1) производная
2) критические точки
3) исследовать y' на знак
4) сделать вывод, где возрастает и убывает, точки max и min
5) найти вторую производную
6) найти точки перегиба
7) исследовать вторую производную на знак
8) сделать вывод о выпуклости вверх или вниз, и о точках перегиба
9) построить график

Answer 1

$y=mathrm{tg}2 pi x \ 2 pi x neq dfrac{ pi }{2} + pi n \ x neq dfrac{ 1}{4} + dfrac{ n}{2} \ xin left(dfrac{ 1}{4} + dfrac{ n}{2} ;dfrac{ 3}{4} + dfrac{ n}{2} right), nin Z$

$y'= dfrac{1}{cos^22 pi x} cdot (2 pi x)'=dfrac{2 pi }{cos^22 pi x}$

$y'=0: \ dfrac{2 pi }{cos^22 pi x} =0$
- производная не принимает нулевых значений.

Производная не существует в точках, не попавших в область определения функции: $x =dfrac{ 1}{4} + dfrac{ n}{2}$

Учитывая положительный знаменатель производной, получаем, что функция возрастает на всей области определения при $xin left(dfrac{ 1}{4} + dfrac{ n}{2} ;dfrac{ 3}{4} + dfrac{ n}{2} right), nin Z$. Точек максимума и минимума функция не имеет

$y''= left(dfrac{2 pi }{cos^22 pi x} right)'= 2 pi((cos2 pi x)^{-2})'= \ =2 picdot (-2(cos2 pi x)^{-3})cdot (cos2 pi x)'= \ =- dfrac{4 pi }{cos^32 pi x} cdot (-sin2 pi x)cdot (2 pi x)'= \ = dfrac{4 pi sin2 pi x }{cos^32 pi x} cdot 2 pi = dfrac{8 pi^2 sin2 pi x }{cos^32 pi x}$

$y''=0 \ dfrac{8 pi^2 sin2 pi x }{cos^32 pi x} =0 \ 8 pi^2 sin2 pi x =0 \ sin2 pi x =0 \ 2 pi x= pi n \ 2 x= n \ x= dfrac{ n}{2} , nin Z$

$x= dfrac{ n}{2} , nin Z$ - точки перегиба

$y'' textgreater 0 \ dfrac{8 pi^2 sin2 pi x }{cos^32 pi x} textgreater 0 \ dfrac{ sin2 pi x }{cos2 pi x} textgreater 0 \ mathrm{tg}2 pi x textgreater 0 \ xin left(dfrac{ n}{2} ;dfrac{ 1}{4} + dfrac{ n}{2} right), nin Z$

$y'' textless 0 \ xin left(-dfrac{ 1}{4}+dfrac{ n}{2} ; dfrac{ n}{2} right), nin Z$

Функция выпукла при $xin left(dfrac{ n}{2} ;dfrac{ 1}{4} + dfrac{ n}{2} right), nin Z$
Функция вогнута при $xin left(-dfrac{ 1}{4}+dfrac{ n}{2} ; dfrac{ n}{2} right), nin Z$