Question

Помогите пожалуйста решить!
дифференцированное уравнение кто умеет и может!

Answer 1

1. Интегрируя левую и правую части уравнения, получим

               $displaystyle y=int(1+4x-6x^2)dx=x+2x^2-2x^3+C$

Получили это общее решение ДУ. Осталось найти частное решение, подставив начальные условия.
   
    $6=2+2cdot2^2-2cdot 2^3+C\ \ C=12$

                                             $boxed{y=x+2x^2-2x^3+12}~~~~~~ -$  частное решение

2. Переписав данное ДУ в следующем виде $x^2y'=xy-y^2$. И этот вид ДУ является однородным(выполняется условие однородности).

Пусть $y=ux;$ тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций : $y'=u'x+u$

          $x^2(u'x+u)=ux^2-u^2x^2;~~~~~ Rightarrow~~~~ u'x+u=u-u^2\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~u'x=-u^2$

И это последнее уравнение является ДУ с разделяющимися переменными

        $displaystyle int- frac{du}{u^2}=int frac{dx}{x} ;~~~~~~~ Rightarrow~~~~~~~~ frac{1}{u} = ln|x|+C$

тогда, осуществив замену $u= dfrac{y}{x}$,      получим               $dfrac{x}{y} =ln|x|+C;~~~~~~ Rightarrow~~~~~~y= dfrac{x}{ln|x|+C}$

Подставляя начальные условия, получим частное решение:

                         $1= dfrac{1}{ln1+C} ;~~~~~~~~~~Rightarrow~~~~~~~~~ C=1$

                                               $boxed{y= dfrac{x}{ln|x|+1} }$ - частное решение.