Question

Нвйти все значения параметра а при которых уравнение имеет хотя бы один корень

Answer 1

Сделаем замену t = x - 5, тогда x = t + 5. Очевидно, у исходного уравнения и у уравнения относительно t должно быть одинаковое количество корней.

$a^2+8|x-5|+2sqrt{x^2-10x+29}+25=5x+2|x-2a-5|\ a^2+8|t|+2sqrt{t^2+4}=5t+2|t-2a|$

Раскроем один из модулей:

$left[begin{array}{l}begin{cases}tgeqslant 2a\a^2+4a+4=7t-8|t|+4-2sqrt{t^2+4}end{cases}\begin{cases}t textless 2a\a^2-4a+4=3t-8|t|+4-2sqrt{t^2+4}end{cases}end{array}right.$

$left[begin{array}{l}begin{cases}tgeqslant 2a\(a+2)^2=7t-8|t|+4-2sqrt{t^2+4}end{cases}\begin{cases}t textless 2a\(a-2)^2=3t-8|t|+4-2sqrt{t^2+4}end{cases}end{array}right.$

Рассмотрим правую часть уравнения из первой системы. В левой части стоит квадрат числа, так что для того, чтобы уравнение имело корни, правая часть должны быть неотрицательна. 

Если t < 0, то 
$7t-8|t|+4-2sqrt{t^2+4}=15t+4-2sqrt{t^2+4} textless 15t+4-2sqrt{0^2+4} textless \ textless 15t textless 0$

Если t > 0, то
$7t-8|t|+4-2sqrt{t^2+4}=-t+4-2sqrt{t^2+4} textless -t+4-2sqrt{0^2+4} textless \ textless -t textless 0$

Итак, при t не равных нулю правая часть отрицательна, так что корней у уравнения нет. Значит, корни могут быть только при t = 0.

Аналогично, и уравнение из второй системы имеет решения, только если t = 0. Поэтому если совокупность и имеет решение, то оно нулевое. Найдём, при каких a решением совокупности будет t = 0.

$left[begin{array}{l}begin{cases}0geqslant 2a\(a+2)^2=0end{cases}\begin{cases}0 textless 2a\(a-2)^2=0end{cases}end{array}right.Leftrightarrowleft[begin{array}{l}a=-2\a=2end{array}right.$

Ответ. $a=pm2$