Question

Вася написал на доске 100 действительных чисел и вычислил сумму их квадратов S. Петя прибавил к каждому из этих чисел по 1 и также вычислил сумму их квадратов, которая оказалась равна S. После этого Петя снова прибавил к каждому из этих чисел по 1. На сколько теперь увеличилась сумма квадратов?

Answer 1

Пусть $a_1, a_2,...a_{100}$ - исходные числа.
Найдем сумму квадратов чисел после прибавления 1 к каждому (она равна сумме квадратов исходных чисел - S - по условию)
$S=(a_1+1)^2+(a_2+1)^2+...+(a_{100}+1)^2=$
$=a_1^2+a_2^2+...+a_{100}^2+2(a_1+a_2+...+a_{100})+100}=$
$=S+2(a_1+a_2+...+a_{100})+100}$
Значит,
$2(a_1+a_2+...+a_{100})+100=0$
После второго прибавления 1 к каждому сумма квадратов равна:
$S=(a_1+2)^2+(a_2+2)^2+...+(a_{100}+2)^2=$
$=a_1^2+a_2^2+...+a_{100}^2+4(a_1+a_2+...+a_{100})+400}=$
$=S+2*(2(a_1+a_2+...+a_{100})+100})+200=S+200.$
То есть, сумма квадратов увеличилась на 200