Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАНИЯ ПО АЛГЕБРЕ 100 баллов

Answer 1

1.  Оба значения табличные
a)   $arcctg sqrt{3} + arccos frac{1}{2} = frac{ pi }{6} + frac{ pi }{3} = frac{ pi }{2}$

b) Нужно найти cos угла, sin которого равен 3/5. Через основное тригонометрическое тождество
$cos^2x + sin^2x = 1 \ cos^2x + (frac{3}{5} )^2 = 1 \ cos^2x = 1 - frac{9}{25} = frac{16}{25}$
Так как   arcsin a  ∈[-π/2; π/2],   то косинус в первой и четвертой четвертях положительный. Поэтому

$cos^2x = frac{16}{25} \ cos x = frac{4}{5} \ cos (arcsin frac{3}{5} )= frac{4}{5}$

2.
$sin x = frac{1}{2} \ x_{1} = frac{ pi }{6} + 2 pi n \ \ x_{2} = frac{5 pi }{6} + 2 pi m \ pi =3.14 \ x_{1} = 0,52 + 6.28n \ x_{2} =2.62 + 6,28m$

Теперь просто выбрать корни, входящие в интервал [1;4]
$n = 0; x_{1} = frac{ pi }{6} = 0.52 < 1$   в интервал не входит
$n=1; x_{1} = 0.52+6.28 = 6.8 textgreater 4$  в интервал не входит

$m = 0; x_{2} = frac{5 pi }{6} = 2.62$  в интервал попадает.
При m>0  корни будут больше 4

Ответ: $x = frac{ pi }{6}$


3.
а)
$cos3x = frac{ sqrt{3} }{2} \ 3x_{1}= frac{ pi }{3} + 2 pi n; x_{1}= frac{ pi }{9} + frac{2}{3} pi n \ \ 3x_2 = frac{2 pi }{3} +2 pi m; x_2 = frac{2 pi }{9} + frac{2}{3} pi m$

б)  $3sin^2x - 4sin x +1=0$
Обыкновенное квадратное уравнение с переменной sinx
D = 16 - 4*3=4
$sinx_{1,2} = frac{4-2}{2*3} = frac{1}{3}; \ x_1 = arcsin frac{1}{3} +2 pi n; \ x_2 = pi -arcsin frac{1}{3} +2 pi m; \ \ sinx_{3} = frac{4+2}{2*3} = 1; \ x_3 = frac{ pi }{2} +2 pi k;$

4)
Область определения функции  y = arcsin(3x - 2)

$-1 leq 3x - 2 leq 1 \ 1 leq 3x leq 3 \ frac{1}{3} leq x leq 1 \ D(y) = [ frac{1}{3} ;1]$   x∈[1/3; 1]

Область значений функции arcsin  ограничена интервалом  [-π/2; π/2]