Question

Решите систему уравнений
{3x^2−2xy−y^2=4
{x^2+3xy+3y^2=1

Answer 1

$left { {{3x^2-2xy-y^2=4} atop x^2+3xy+3y^2=1}} right.$
Умножим первое на 3, второе на 2 и сложим.
Получим уравнение эллипса:
$11x^2+3y^2=4$
Заметим, что он проходит через 4 точки: x=+-1; y=+-1
Второе уравнение представим в виде:
$(x+ frac{3}{2}y)^2+ frac{3}{4}y^2=1$
Графиком этой фигуры также является эллипс, не совпадающий с первым. Точек пересечения у двух эллипсов не более 4-х.
Заметим, что этот эллипс, заданная этим уравнением, проходит через точки (-1:1) и (1;-1).
Сложным методом подбора получается, что также подходят точки 
$x= frac{13}{ sqrt{133} } ; y=-frac{1}{ sqrt{133} }$ и $x= -frac{13}{ sqrt{133} } ; y=frac{1}{ sqrt{133} }$

Answer 2

$left { {{3x^2-2xy-y^2=4, |cdot (-1)} atop {x^2+3xy+3y^2=1, |cdot 4}} right. ; ; left { {{-3x^2+2xy+y^2=-4} atop {4x^2+12xy+12y^2=4}} right. ; oplus ; left { {{x^2+14xy+13y^2=0} atop {x^2+3xy+3y^2=1}} right. \\x^2+14xy+13y^2=0, |:y^2ne 0\\(frac{x}{y})^2+14cdot frac{x}{y} +13=0\\t=frac{x}{y} ; ,; ; t^2+14t+13=0; ,; ; t_1=-13; ,; t_2=-1\\a); ; frac{x}{y} =-13; ,; ; x=-13y; ,\\x^2+3xy+3y^2=(-13y)^2-3cdot 13y^2+3y^2=133y^2; ,; 133y^2=1$

$y^2= frac{1}{133} ; ,; ; y=pm frac{1}{sqrt{133}} \\x=-13cdot (pm frac{1}{sqrt{133}} )=mp frac{13}{sqrt{133}} \\b); ; frac{x}{y} =-1; ,; ; x=-y\\x^2+3xy+3y^2=(-y)^2-3y^2+3y^2=y^2; ,; ; y^2=1\\y=pm 1\\x=-y=mp 1\\Otvet:; ; (-1,1); ,; ; (1,-1); ,; ; ( frac{1}{sqrt{133}},-frac{13}{sqrt{133}} ); ,; ; (-frac{1}{sqrt{133}},frac{13}{sqrt{133}}); .$

Answer 3

без лишних эмоций