Question

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения
${16}^{n} + 5 times {9}^{n} - 3 times {2}^{n + 1}$
кратно 7.
Пожалуйста с подробностями)

Answer 1

$16^n+5*9^n-3*2^{n+1}=(8*2)^n+5*(9)^n-3*2*2^n=$
$=8^n*2^n+5*9^n-2^n-5*2^n=2^n(8^n-1)+5*(9^n-2^n)$
$8^n-1=(8-1)(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1)=7*(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1)$ - кратно 7.
И $9^n-2^n=(9-2)(9^{n-1}+9^{n-2}*2+...+9^{n-k}*2^{k-1}+...+2^{n-1})=$
$=7(9^{n-1}+9^{n-2}*2+...+9^{n-k}*2^{k-1}+...+2^{n-1})$ кратно 7.
Значит, сумма $2^n(8^n-1)+5*(9^n-2^n)$ кратна 7. ЧТД