Question

1. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки A(9;0) и до данной прямой x=4.5 равно 3. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
2. Даны координаты точек A(10;13) и B(-7;3√5). Требуется:
I. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через заданные точки A и B, если фокусы расположены на оси абцисс.
II. Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптод этой гиперболы.
III. Найти все точки пересечения гипербрлы с окружностью, центр которой находится в начале координат и известно, что эта окружность проходит через фокусы гиперболы.
IV. Построить гиперболу, её ассимптоды и окружность.

Answer 1

1) Уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки A(9;0) и до данной прямой x=4.5 равно 3, имеет вид:
$sqrt{(x-9)^2+y^2} =3(x-4,5).$
Возведём обе части уравнения в квадрат и приведём подобные.
$x^2-18x+81+y^2=9(x^2-9x+20,25).$
8x²-y²-63x+101,25 = 0.
Выделяем полные квадраты:
8(x²-2(63/16)x + (63/16)²) -8(63/16)² = 8(x-(63/16))²-(3969/32).
Разделим все выражение на 729/32.
$frac{256}{729} (x- frac{63}{16} )^2- frac{32}{729}y^2=1.$
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C((63/16); 0) и полуосями: a = (27/16); b = (27/(4√2).
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b2 = (729/256) + (729/32) = (6561/256),
c = 81/16.
Тогда эксцентриситет будет равен: ε = (81/16)/(27/16) = 81/27 = 3.
Асимптотами гиперболы будут прямые:
y+yo = +-(b/a)(x+xo).
y₁ = (27/4√2)/(27/16)*x = 2√2*(x - (63/16)),
y₂ = -2√2*(x - (63/16)).
Директрисами гиперболы будут прямые:
(х-хо) = +-(а/ε).
$x- frac{63}{16} =+- frac{729}{256} : frac{81}{16} =+- frac{9}{16}.$
Для построения графика функции удобнее пользоваться уравнением функции, выражающим зависимость функции у от переменной х.
Заданная гипербола имеет вид:
$y=+- sqrt{8x^2-63x+101,25}.$