Question

Решите пожалуйста:
1) x^4*y' + x^3*y' = 4
2) y''*y^3 +50 = 0
Буду очень благодарен. Спасибо

Answer 1

$1); ; x^4cdot y'+x^3cdot y'=4\\y'cdot x^3cdot (x+1)=4\\ frac{dy}{dx}= frac{4}{x^3(x+1)} ; ; to ; ; ; frac{1}{4} int dy=int frac{dx}{x^3(x+1)}\\frac{1}{x^3(x+1)}=frac{A}{x^3}+frac{B}{x^2}+frac{C}{x}+ frac{D}{x+1}; ; to \\1=A(x+1)+Bx(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^3\\x=0; ;to ; ; A=1\x=-1; ; to ; ; D=-1\\x^3; |; 0=C+D; ; to ; ; ; C=-D=1\x^2; |; 0=B+C; ; to ; ; B=-C=-1\\frac{1}{4}int dy=int frac{dx}{x^3}-int frac{dx}{x^2}+int frac{dx}{x}-int frac{dx}{x+1}$

$frac{1}{4}, y= frac{x^{-2}}{-2}-frac{x^{-1}}{-1}+ln|x|-ln|x+1|+C\\frac{1}{4}, y=-frac{1}{2x^2}+frac{1}{x} +lnBig |frac{x}{x+1} Big |+C\\y=-frac{2}{x^2}+frac{4}{x}+4, lnBig | frac{x}{x+1} Big |+4Cqquad (; mozno:; ; 4C=C_1, )$

$2); ; y''cdot y^3+50=0\\y'=p(y); ,; ; y''=pcdot frac{dp}{dy}\\pcdot frac{dp}{dy}cdot y^3= -50; ,; ; pcdot frac{dp}{dy}=-50cdot frac{dy}{y^3} \\int pcdot dp=-50cdot int frac{dy}{y^3}\\ frac{p^2}{2}=-50cdot frac{y^{-2}}{-2}+C^{*}\\p^2=frac{50}{y^2}+2C^{*} ; ; ,; ; ; C_1=2C^{*}\\p^2= frac{50+C_1cdot y^2}{y^2} \\p=pm sqrt{frac{50+C_1cdot y^2}{y^2}}; ; ,; ; ; p=pm frac{sqrt{50+C_1cdot y^2}}{y}\\p=y'=frac{dy}{dx}=pm frac{sqrt{50+C_1cdot y^2}}{y}$

$int frac{ycdot dy}{sqrt{50+C_1cdot y^2}}=int dx\\star [; t=50+C_1cdot y^2; ,; ; dt=2C_1y, dy; ]\\frac{1}{2C_1} int frac{2C_1cdot y, dy}{sqrt{50+C_1cdot y^2}} =x+C_2\\ frac{1}{2C_1}cdot 2, sqrt{50+C_1cdot y^2}=x+C_2\\50+C_1cdot y^2=C_1^2(x+C_2)^2\\C_1cdot y^2=C_1^2, (x+C_2)^2-50\\underline {y^2=C_1, (x+C_2)^2-frac{50}{C_1}}$