Question

Комплексные числа.Вычислить. $sqrt[5]{-1-i}$

Answer 1

Рассмотрим $z=-1-i$. Модуль комплексного числа: $|z|= sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = sqrt{2}$

Тогда

                      $z=-1-i=sqrt{2}cdot bigg(- dfrac{1}{ sqrt{2} } - dfrac{i}{sqrt{2}}bigg)=sqrt{2}bigg(cos dfrac{5 pi }{4} +isin dfrac{5 pi }{4} bigg)$

Согласно формуле Муавра:

         $sqrt[5]{z}=sqrt[10]{2}bigg(cos dfrac{frac{5 pi }{4}+2 pi k}{5} +isin dfrac{frac{5 pi }{4}+2 pi k}{5} bigg)$

Дополнительное объяснение. Косинус отрицателен только в II и III четвертях, а синус - в III и IV. В нашем случае оба тригонометрические функции отрицательные, т.е. синус и косинус будут отрицательны только в III четвертях.(нахождение угла смотрите во вложении картинки)