Question

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка xy'-3y=(x^4)(e^x), если у=е, х=0

Answer 1

Применим метод Лагранжа. Т.е. найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

                                            $xy'-3y=0$                 (*)

Уравнение (*) является дифференциальным уравнением с разделяющими переменными.

            $dfrac{dy}{y} =3 dfrac{dx}{x} ;~~~~~~~~displaystyle~~~~~~int dfrac{dy}{y} =3 intdfrac{dx}{x} ;~~~~~~~Rightarrow~~~~~~ y=Cx^3$

Примем константу за функцию, т.е. $y=C(x)cdot x^3$. Тогда, дифференцируя по правилу произведения.
         $y'=C'(x)cdot x^3+3x^2C(x)$

Подставим теперь все это в исходное уравнение

                     $xcdot(C'(x)cdot x^3+3x^2C(x))-3C(x)cdot x^3=x^4e^x\ \ x^4C'(x)+3x^3C(x)-3x^3C(x)=x^4e^x\ \ ~~~~~~~C'(x)=e^x;~~~~~Rightarrow~~~~ ~~ C(x)=e^x+C$

Получаем общее решение данного ДУ :  $boxed{y=(e^x+C)x^3}$

                    $e=(e^0+C)cdot0^3;~~~~~~~Rightarrow~~~~~~~ ene0$

В поиске частного решения произошла ошибка в условии. Если нет никакой ошибки, что ж уж поделать!