Question

задание на фото . с подробным решением

Answer 1

$y(x)=log_3(|x-4|+|x+5|)$

рассмотрим функцию при разных значениях ее аргумента х (числовая ось разбивается нулями подмодульных выражений, а именно $x_1=-5$ и $x_2=4$), а именно:
$(-infty;-5)$:
$y(x)=log_3(-(x-4)-(x+5))=log_3(-2x-1)$
этот логарифм существует при условии
$-2x-1 textgreater 0\ -2x textgreater 1\ 2x textless -1\ x textless 0.5$
Вывод: на интервале $(-infty;-5)$ наша функция есть функцией $y(x)=log_3(-2x-1)$
-----------------------------------------------------------
${-5}$
$y(5)=log_3(|-5-4|+|-5+5|)=log_3(9)=log_3(3^2)=2$
при значении аргумента $-5$ функция принимает значение $2$
-----------------------------------------------------------
$(-5;4)$
$y(x)=log_3(-(x-4)+(x+5))=log_3(9)=2$
на интервале $(-5;4)$ наша функция принимает значение $2$
-----------------------------------------------------------
${4}$
$y(4)=log_3(|4-4|+|4+5|)=log_3(9)=2$
при значении аргумента $4$ функция принимает значение $2$
-----------------------------------------------------------
$(4;+infty)$
y(x)=log_3(x-4+x+5)=log_3(2x+1)
этот логарифм существует при условии
$2x+1 textgreater 0\ 2x textgreater -1\ x textgreater -0.5$
Вывод: на интервале $(4;+infty)$ наша функция есть функцией $y(x)=log_3(2x+1)$
--------------------------------------------
--------------------------------------------
Итого:
$y(x)=log_3(|x-4|+|x+5|)= left { {{log_3(-2x-1), if x textless -5} atop {2, if -5 leq x leq 4}} atop {log_3(2x+1), if x textgreater 4}right$

теперь же не сложно убедиться, что при $x textless -5$ функция $y(x)=log_3(-2x-1)$ монотонно убывает, а функция $y(x)=log_3(2x+1)$ на промежутке $(4;+infty)$ монотонно растет. (Просто постройте графики, что бы убедиться, или же строго докажите, за определением монотонного убывания, роста функций).
Вот и получаем, что минимальное значение функции равно $2$