Question

Поезд состоит из восьми вагонов. Каждый из пяти пассажиров выбирает себе вагон наугад. Сколькими способами они могут выбрать вагоны так, чтобы все пассажиры оказались не более чем в трех вагонах.

В книге ответ: $13608=2^{3}*3^{5}*7$

Моя попытка: 1) я ищу сколько есть способов всех пассажиров рассадить в какой-то один вагон 2) -//- в какие-то два вагона 3) -//- в какие-то три вагона 4) суммирую результаты первых трех пунктов.

детально пункт 1:
выбираю 7 вагонов пыстыми как $C_{8}^{7}$
размещаю 5 пассажиров в оставшийся вагон как $C_{5+1-1}^{5}$
(размещаю не различимых пассажиров по различимым вагонам)
итого $C_{8}^{7}*C_{5}^5=8*1=8$
пункт 2:
аналогично $C_{8}^{6}*C_{5+2-1}^5=35*6=210$
пункт 3:
аналогично $C_{8}^{5}*C_{5+3-1}^5=56*21=1176$

Итого $8+210+1176=1394$

У меня сомнения, что я верно интерпретировал условие задачи. Прошу мнение сведующего человека. Спрашиваю другие решения с объяснением. Возможно у кого-то совпадет с ответом в книге. Возможно кто-то докажет, что в книге ответ не верен.

Answer 1

Update
Отдельно рассмотрим случае, когда занят 1 вагон, 2 вагона и 3 вагона.
1) Количество способов, при которых все 5 пассажиров в одном вагоне равно
$C_8^1=8$. Рассадка внутри вагона - единственная.
2) Количество способов выбрать 2 вагона для рассадки (обязательно, чтобы оба выбранных вагона были заняты, так как случаи занятия только одного вагона уже рассмотрены) равно
$C_8^2=28$
Между выбранными двумя вагонам каждый пассажир может делать выбор независимо, кроме случаев, когда один из вагонов оказывается пустым.
Значит, таких способов рассадки - $2^5-2=30$,
всего способов рассадки, при которых заняты ровно 2 вагона: 28*30=840
3) Количество способов, которыми можно выбрать 3 вагона, в которых будут размещаться пассажиры $C_8^3=56$ 
Далее, для каждого выбранного варианта трех вагонов каждый из 5 пассажиров может выбрать любой вагон, то есть, для каждого пассажира есть выбор из трех вагонов. Всего вариантов разных выборов - $3^5$
Но мы должны вычесть все способы рассадки, при которых остаются пустыми один или 2 вагона.
Количество способов, при котором остаются пустыми 2 вагона равно 3 (ровно один способ для каждого занятого вагона или  $C_3^2*1=3$ )
Количество способов, при котором пустым остается 1 вагон -  $C_3^1*(2^5-2)=3*30=90$   
То есть, количество способов, при которых заняты ровно 3 вагона, равно
56*(243-3-90)=56*150=8400
4) Значит, всего способов
8+840+8400=9248=2^5*17^2.

Answer 2

Дискусия открыта)

Answer 3

Выходит, на те же грабли наступили. Значит, надо думать, видимо решение сложнее, чем представлял себе автор задачника.

Answer 4

Именно так)

Answer 5

Текущее мое решение мне представляется верным :)

Answer 6

Как и мне:) Охота проверить точно