Question

Решить уравнение

$sin^{2017}x+cos^{2018}x=1$

Answer 1

Введем обозначения: s = sin(x), c = cos(x).

Так как функции вида y=n^x монотонно спадают при x > 1 и 0 < n < 1,
s^2017 <= s^2,
c^2018 <= c^2.

Если s не принадлежит множеству {0;1;-1}, уравнение решений не имеет.
Предположим обратное. Пусть |s| <> 0 и |s| <> 1.
Выразим квадрат косинуса через квадрат синуса: c^2 = 1 - s^2.
Тогда c^2018 = (1 - s^2)^1009.
Так как c^2018 <= c^2, то в данном случае c^2018 < c^2.
Так как s^2017 <= s^2, то в данном случае s^2017 < s^2.
c^2018 + s^2017 < c^2 + s^2 ==> c^2018 + s^2017 < 1.
В левой части получилась сумма двух чисел, которые меньше c^2 и s^2, т. е. меньше еденицы.
А по условию c^2018 + s^2017 равно 1.
Пришли к противоречию, следовательно, |s| = 0 или |s| = 1.

Таким образом, возможны следующие варианты:
1) {sin(x) = 0, cos(x) = ±1} => x = pn;
2) {sin(x) = 1, cos(x) = 0} => {x = p/2 + pn, x = p/2 + 2pn} => x = p/2 + 2pn.

Ответ: x = p/2 + 2pn; x = pn.

Мы можем рассуждать так:
c^2018 + s^2017 = 1
c^2 + s^2 = 1
Отнимем эти равенства:
c^2018 + s^2017 - (c^2 + s^2) = 0
c^2(c^2016 - 1) = s^2(1 - s^2015)
Очевидно, что c^2016 - 1 <= 0, 1 - s^2015 >= 0, при этом s^2 и c^2 неотрицательны.
В правой части неотрицательное число.
В левой неположительное.
Следовательно, уравнение не имеет решений при cos(x) <> 0 и (c^2016 - 1) <> 0. Далее рассматриваем cos(x) = 0 и cos(x) = ±1.

Answer 2

Спадает понятия нет.

Answer 3

Владение языками тоже нужно иметь. Украинский в перемешке с русским

Answer 4

Я не могу исправить свое решение после того, как оно одобрено. Функция убывает :)

Answer 5

имхо, это уже мелочь, и не стоит суеты

Answer 6

В расширенной версии задачника Сканави есть решение этой задачки, где-то в приложениях.