Question

Определить тип дифференциального уравнения и его метод решения
$y'= frac{1+y^{2} }{1+ x^{2} }$
$y^{2} + x^{2} y'=xyy'$

Answer 1

1. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, с разделяющимися переменными.
    $displaystyle frac{dy}{1+y^2}= frac{dx}{1+x^2}~~~~~Rightarrow~~~~ int frac{dy}{1+y^2}= intfrac{dx}{1+x^2}Rightarrow~~~ arctg y=arctgx+C$

                                   $y=tg(arctgx+C)$  - общее решение ДУ.

2. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, однородное.
Можно убедиться, что данное ДУ является однородным, воспользовавшись условием однородности.
                                  $displaystyle (lambda y)^2+(lambda x)^2y'=lambda^2xyy'\ \ ~~~~~~~~y^2+x^2y'=xyy'$

Положим $y=ux$. Дифференцируя по правилу произведения: $y'=u'x+u$, имеем
                              $u^2x^2+x^2(u'x+u)=ux^2(u'x+u)\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0\ \ ~~~~u^2+u'x+u=uu'x+u^2\ \ ~~~~~~~~~u'x(u-1)=u$
Последнее уравнение это ДУ с разделяющимися переменными
  $displaystyle frac{(u-1)du}{u} = frac{dx}{x}~~~~~ Rightarrow~~~~~ intbigg(1- frac{1}{u} bigg)du=int frac{dx}{x} ~~Rightarrow~~\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Rightarrow~~~~~ u-ln|u|=ln|x|+C$
Получили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x)

Запишем теперь общий интеграл для нашего ДУ, осуществив замену u=y/x.
                               $dfrac{y}{x} -lnbigg|dfrac{y}{x}bigg |=ln|x|+C \ \ dfrac{y}{x} -ln|y|+ln|x|=ln|x|+C$

                      $dfrac{y}{x} -ln|y|=C$ - ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ.