Question

Алгебра 11 класс. Первообразная. Номера 1,2,3.
Помогите, пожалуйста

Answer 1

1. Найдём производные F'(x) и сравним с функцией f(x)
а)
$F'(x) = ( frac{x^4}{4} - frac{5x^3}{3} +4x +3)' = \ \ = 4frac{x^{4-1}}{4} - 3frac{5x^{3-1}}{3} +4*1*x^{1-1} +3*0*x^{0-1} = \ \ = x^3 -5x^2 +4*x^0 +0 = x^3 -5x^2 +4$
б)
$F'(x) = ( frac{1}{x} +3x +cosx -11)' = ( x^{-1} +3x +cosx -11)' = \ \ =-1*x^{-1-1} +3*1*x^{1-1} - sinx - 11*0*x^{0-1} = \ \ = -x^{-2} +3 -sinx -0 = - frac{1}{x^2} +3 -sinx$

2. Ищем первообразные, используя табличные функции.
а)
$intlimits {( sinx - cos2x +3^x )} , dx = -cosx - frac{1}{2} sin2x + frac{3^x}{ln3} +C$

б)
$intlimits {( x^{ frac{4}{5} } - sqrt{x} - frac{1}{x} )} , dx = intlimits {( x^{ frac{4}{5} } - x^{ frac{1}{2} } - frac{1}{x} )} , dx =$

$= frac{1}{ frac{4}{5} +1} x^{ frac{4}{5} +1} - frac{1}{ frac{1}{2} +1} x^{ frac{1}{2} +1} -lnx +C = frac{5}{9} x^{frac{9}{5} }- frac{2}{3} x^{frac{3}{2}} -lnx +C$

3. Находим первообразные и подставляем туда координаты точки А.
а) $f(x) = 3x^2$,  A(2; 33)
$intlimits {3x^2} , dx = x^3 +C \ \ 2^3 + C = 33 \ \ C = 25 \ \ F(x) = x^3 +25$

б) $f(x) = sqrt{2} cosx$,  A(π/4; 3)
$intlimits { sqrt{2} cosx} , dx = sqrt{2} sinx +C \ \ sqrt{2} sin frac{ pi }{4} +C = 3 \ \ sqrt{2} * frac{ sqrt{2} }{2} + C = 3 \ \ C = 2 \ \ F(x) = sqrt{2} sinx +2$