Question

Найти все а, при который уравнение не имеет корней.
$x^6+(5a-8x)^3+3x^2+15a=24x$

Answer 1

Пусть $5a-8x=t$, тогда получим 
   $x^6+t^3+3x^2+3t=0\ (x^2+t)(x^4-tx^2+t^2)+3(x^2+t)=0\ (x^2+t)(x^4-tx^2+t^2+3)=0$
Последнее уравнение обращается в 0 тогда, когда хотя бы один из множителей обращается в 0.
$x^2+t=0$ 

или же, вернувшись к обратной замене,  $x^2-8x+5a=0$
$D=64-20a$

Квадратное уравнение действительных корней не имеет, если дискриминант меньше нуля
    $64-20a textless 0$
     
откуда
          $a textgreater 3.2$

$x^4-tx^2+t^2+3=0$
Путем выделения полного квадрата
                       $~~~~~~ (x^2-0.5t)^2+0.75t^2+3=0$
имеем, что левая часть уравнения принимает только положительные значения.

При а = 3,2 уравнение имеет один единственный корень, поэтому в знак неравенства равно не включаем!

ОТВЕТ: $a in (3.2;+infty)$
    

Answer 2

Спасибо!