Question

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99 и записываемое только единицами и двойками

Answer 1

Если число кратно 99, то оно делится на 9 и 11.
Признак делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 11: Число делится на 11, если разность сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местазх делится на 11.


Сумма цифр числа должна делиться на 9. В наименьшем числе количество цифр наименьшее, пробуем набрать сумму, кратную 9, наименьшим числом слагаемых.

1) Сумма 9 — нечётное число. Тогда среди сумм цифр, стоящих на чётном и нечётном местах, одна чётная сумма и одна нечётная, каждая сумма не превосходит 9, тогда и разность не превосходит 9. Ни одно нечётное натуральное число, не большее 9, не делится на 11, так что ни одно число не будет делиться на 11.

2) Сумма 18. Есть один вариант разбиения на две суммы, разность которых делится на 11: 18 = 9 + 9. На то, чтобы получить сумму 9, нужно не менее 5 цифр, причём подойдёт только один вариант 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1. Так что если надо получить число, содержащее не больше 10 цифр, то на чётных местах и нечётных местах должны стоять по 4 двойки и одной единице. Чтобы число было наименьшим, единицы должны стоять раньше двоек. Получаем число 1122222222.

3) Сумма не меньше 27, тогда цифр нужно не меньше 14, поэтому все числа будут больше найденного.

Ответ. 1122222222.