Question

докажите , что при любом значении n выполняется равенство : 1(в кубе) + 2(в кубе) + 3(в кубе) + ... + n(в кубе) = числитель (n(квадрат) * (n + 1)(квадрат)) знаменатель 4 

Answer 1

Метод мат. индукции:
1) При n=1 равенство верно
$n^3=1^3=1 \\ frac{n^2(n+1)^2}{4}= frac{1^2cdot2^2}{4}= =1$

2) Пусть при n=k равенство верно
$1^3+2^3+3^3+...+k^3= frac{k^2(k+1)^2}{4}$

3) Докажем, что при n=k+1 равенство будет также верным
$1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3= frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3= \ =frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4}= \ =frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$