Question

Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.СРОЧНО ДАЮ 99 БАЛЛОВ

Answer 1

Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: $a_1ge a_2geldots ge a_{15}.$ Требуется доказать, что $a_1>frac{1}{3}.$ Предположим противное, то есть что $a_1le frac{1}{3}.$ По условию $a_2+a_3le a_1le frac{1}{3}.$ При этом $2a_3le a_2+a_3le frac{1}{3}Rightarrow a_3le frac{1}{6}$ Идем по цепочке дальше. По условию $a_4+a_5le a_3lefrac{1}{6}$, при этом $a_5lefrac{1}{12}.$. Продолжая этот процесс, получаем $a_6+a_7le frac{1}{12}; a_8+a_9le frac{1}{24}; a_{10}+a_{11}lefrac{1}{48}; a_{12}+a_{13}lefrac{1}{96}; a_{14}+a_{15}le frac{1}{192}.$ Суммируя, получаем $a_1+a+2+a_3+ldots+a_{15}lefrac{1}{3}+frac{1}{3}+frac{1}{6}+frac{1}{12}+frac{1}{24}+frac{1}{48}+frac{1}{96}+frac{1}{192}=frac{191}{192}<1.$ Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.

Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок)  лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.