Question

Докажите, что если a+b+c+d = 0 и ab+cd+ac+bc+ad+bd = 0 то a = b = c = d = 0.

Answer 1

Возведём равенство $a+b+c+d=0$ в квадрат.

$(a + b + c + d)^2 = 0\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = 0\ a^2 + b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=0$

Выражение в скобках по условию равно нулю.

$a^2+b^2+c^2+d^2+2cdot0=0\ a^2+b^2+c^2+d^2=0$

Квадрат числа — неотрицательная величина, поэтому чтобы сумма квадратов была равна нулю, каждый квадрат должен быть равен нулю, что будет выполнено, только если a = b = c = d = 0.