Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
p=4cos3∅
3.22 пункт на фото.

Answer 1

Записано уравнение трёхлепестковой розы:

$rho =4, cos3varphi \\rho geq 0; ; Rightarrow ; ; ; cos3varphi geq 0; ; Rightarrow ; ; -frac{pi}{2}+2pi nleq 3varphi leq frac{pi }{2}+2pi n ; ,\\-frac{pi}{6}+frac{2pi n}{3} leq varphi leq frac{pi }{6}+frac{2pi n}{3}; ,; nin Z$

Определим, в каких пределах изменяется угол для каждого из лепестков.

$n=0:; ; - frac{pi }{6} leq varphi _1 leq frac{pi }{6}\\n=1:; ; frac{pi }{2} leq varphi _2 leq frac{5pi }{6}\\n=2:; ; frac{7pi }{6}leq varphi _3leq frac{3pi }{2}$

Так как фигура симметричная, то найдём площадь одного лепестка, а затем её умножим на 3.

$S_1= frac{1}{2}cdot intlimits^{ alpha }_{beta }, {rho ^2(varphi )}, dvarphi =frac{1}{2}cdot intlimits^{frac{pi}{6}}_{-frac{pi}{6}} , (4cos^23varphi ), dvarphi =8 cdot 2cdot intlimits^{frac{pi}{6}}_{0}, frac{1+cos6varphi }{2} , dvarphi =\\=8cdot (varphi +frac{1}{6}cdot sin6varphi )Big |_0^{frac{pi}{6}}=8cdot (frac{pi}{6}+frac{1}{6}cdot underbrace {sinpi }_{0})-0= frac{4pi }{3}\\S=3cdot S_1=3cdot frac{4pi }{3}=4pi$