Question

. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:
а) (2a–3b)(a+2b),
 б) |(2a–3b)×(a+2b)|,
где |a|=5, |b|=2, a^b=3π/4.

Answer 1

$|vec{a}|=5; ,; ; |vec{b}|=2; ,; ; alpha =(vec{a}, widehat,, vec{b})=frac{3pi }{4}$

а)  Скалярное произведение векторов:

$(2vec{a}-3vec{b})cdot (vec{a}+2vec{b})=2cdot vec{a}^2+4cdot vec{a}cdot vec{b}-3cdot underbrace {vec{b}cdot vec{a}}-6cdot vec{b}^2=\\=2cdot |vec{a}|^2+4cdot vec{a}cdot vec{b}-3cdot underbrace {vec{a}cdot vec{b}}-6cdot |vec{b}|^2=\\=2cdot 5^2+vec{a}cdot vec{b}-6cdot 2^2=50+|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cosfrac{3pi}{4}-24=\\=26+5cdot 2cdot (-frac{sqrt2}{2})=26-5sqrt2$

2)  Векторное произведение:

$(2vec{a}-3vec{b})times (vec{a}+2vec{b})=2cdot underbrace {vec{a}timesvec{a}}_{0}+4cdot vec{a}times vec{b}-3cdot vec{b}times vec{a}-6cdot underbrace {vec{b}times vec{b}}_{0}=\\=4cdot vec{a}times vec{b}+3cdot vec{a}times vec{b}=7cdot vec{a}times vec{b}\\|(2vec{a}-3vec{b})times (vec{a}+2vec{b})|=|7cdot vec{a}times vec{b}|=7cdot |vec{a}|cdot |vec{b}|cdot sinfrac{3pi}{4}=\\=7cdot 5cdot 2cdot frac{sqrt2}{2}=35sqrt2$