Question

Найдите наименьшее трёхзначное число, равное сумме своих цифр, умноженной на разность учетверенной средней цифры и двух оставшихся.

Answer 1

100a+10b+c=(a+b+c)(4b-a-c)=S(5b-S), где S=a+b+c -- сумма цифр

100+10b<=100a+10b+c<=(5b/2)^2 по неравенству о среднем

25b^2-40b-400>=0

5b^2-8b-80>=0 Левая часть возрастает при b>=1; при b=4 неравенство неверно. Значит, b>=5. Ищем наименьшее число, поэтому можно положить a=1, и если число с таким свойством найдётся, то оно будет наименьшим.

100+10b+c=(1+b+c)(4b-c-1)

Пробуем b=5 (так как меньше оно быть не может).

c+150=(c+6)(19-c)

c^2-12c+36=(c-6)^2=0

c=6

Число 156 наименьшее.Если не ошибаюсь, такое число вообще всего одно, но это трудно доказать без перебора