Question

Найдите все натуральные числа m и n которые удовлетворяют уравнению 1!+2!+3!+...n !=m2

Answer 1

Если n >= 5, то n! делится на 10, поэтому оканчивается на 0. Значит, при любом n >= 4 последняя цифра суммы 1! + 2! + 3! + ... + n! совпадает с последней цифрой суммы 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33. Но полные квадраты не могут оканчиваться на 3, значит, при n >= 3 решений нет.

Проверяем n = 1, 2, 3:
n = 1: 1! = 1 = 1^2; (n, m) = (1, 1) — решение.
n = 2: 1! + 2! = 3 — не квадрат
n = 3: 1! + 2! + 3! = 9 = 3^2; (3, 3) — решение.

Ответ: (1, 1), (3, 3)