Question

Докажите, что многочлен (x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2) принимает неотрицательное значение при любых численные значениях входящих в него букв (разложить на множители и объяснить все по действиям).

Answer 1

1) Пусть y=0; тогда выражение превращается в $2x^6 geq 0.$

2) Пусть $ynot= 0$. Преобразуем выражение к виду

$y^6left((frac{x}{y})^2-frac{x}{y}+1right)^3+ y^6left((frac{x}{y})^2+frac{x}{y}+1right)^3;$

замена $frac{x}{y}=t$ приводит его к виду 

$y^6(t^2-t+1)^3+y^6(t^2+t+1)^3.$

Оба выражения, стоящие в скобках, неотрицательны, поскольку их дискриминанты отрицательны, а старшие коэффициенты положительны. А отсюда уже следует неотрицательность выражения целиком.