Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, РЕШИТЬ ЗАДАЧКУ ПО ГЕОМЕТРИИ!! БУДУ ОЧЕНЬ БЛАГОДАРНА)
смотр. фото

Answer 1

так как AB=AC=20 => ΔBAC равнобедренный, значит AH является биссектрисой и медианой и высотой(свойство равнобедренного треугольника)
BK - высота => AK=(1/2)*AC=(1/2)*20=10.
по формуле площади треугольника:
SΔBAC=(1/2)*AB*AC*sin(A)
(1/2)*20*20*sin(A)=160
$sin(A)= frac{160}{200} = frac{16}{20} = frac{4}{5}$
рассмотрим ΔAKB - он прямоугольный( угол BKA=90°).
так как AO - биссектриса, то угол BAO=1/2 угла A
найдем синус BAO
воспользуемся формулой синуса половинного угла и основным тригонометрическим тождеством:
$sin^2frac{A}{2} = frac{1-cosA}{2} \cos^2A=1-sin^2A=1- frac{16}{25} = frac{9}{25} \cosA= frac{3}{5} \sin frac{A}{2} =sqrt{ frac{1- frac{3}{5} }{2} }=sqrt{ frac{ frac{2}{5} }{ 2 } }=sqrt{ frac{1}{5}}= frac{sqrt{5}}{5}$
$sin(BAO)=sin frac{A}{2} =frac{sqrt{5}}{5}$
рассмотрим ΔAKB - в нем AO - биссектриса. Для определения биссектрисы в прямоугольном треугольнике есть формула:
$AO=AK*sqrt{ frac{2*AB}{AK+AB} } \AK=10 \AB=20 \AO=10*sqrt{ frac{40}{30} }= frac{20}{sqrt{3}} = frac{20sqrt{3}}{3}$
теперь можно найти площадь ΔABO:
SΔABO=(1/2)*AB*AO*sin(BAO)
 $AB=20 \AO= frac{20sqrt{3}}{3} \sin(BAO)= frac{sqrt{5}}{5} \SDelta ABO= frac{1}{2} *20*frac{20sqrt{3}}{3}*frac{sqrt{5}}{5}= frac{20*20sqrt{3}*sqrt{5}}{3*5*2} = frac{40sqrt{15}}{3}$
Ответ: $frac{40sqrt{15}}{3}$