Question

интеграл 3.18 даю 36бал

Answer 1

#3.18
$intlimits { frac{x^{2}+4}{x^{2}-4} } , dx$
$frac{x^{2}+2}{x^{2}-4} = frac{x^{4}}{x^{2}-4} + frac{2}{x^{2}-4}$

Далее применяем правило суммы:
$= intlimits { frac{x^{4}}{x^{2}-4} } dx+ intlimits { frac{2}{x^{2}-4} } , dx$
$intlimits { frac{x^{4}}{-(-x^{2}+4} } , dx$ =>извлекаем константу (C)
$=- intlimits { frac{x^{4}}{-x^{2}+4} } , dx$ =>применяем подстановку интеграла:
$=- intlimits { frac{8u^{4}}{-u^{2}+1} } , du$ =>извлекаем константу
$=-8* intlimits { frac{u^{4}}{-u^{2}+1} } , du$
$frac{u^{4}}{-u^{2}+1} =-u^{2}+ frac{u^{2}}{-u^{2}+1}$
$=-u^{2}-1+ frac{1}{-u^{2}+1} =-8* intlimits {-u^{2}-1+ frac{1}{-u^{2}+1} } , du$ => снова правило суммы:
$=-8(- intlimits {u^{2}du- intlimits {1} , du + intlimits { frac{1}{-u^{2}+1} du} } )$
$intlimits {u^{2}du= frac{u^{2+1}}{2+1} = frac{u^{3}}{3}$
$intlimits {1du}=u$
$intlimits { frac{1}{-u^{2}+1} } du= frac{ln|u+1|}{2} - frac{ln|u-1|}{2}$
$=-8( -frac{u^{3}}{3} -u+ frac{ln|u+1|}{2} - frac{ln|u-1|}{2}$ => делаем обратную замену u=x/2:
$=-8( -frac{( frac{x}{2} )^{3}}{3}- frac{x}{2}+ frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2} - frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2} )$
$frac{ (frac{x}{2})^{3} }{3}= frac{x^{3}}{2^{3}*3}$
$=-8(- frac{x^{3}}{2^{3}*3}- frac{x}{2}+ frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2} - frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2} )$
$2^{3}*3=24$
$=-8(- frac{x^{3}}{24}- frac{x}{2}+ frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2} - frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2} )$
$=-8 (-frac{x^{3}}{24}- frac{x}{2}+ frac{1}{2}ln| frac{x}{y} +1|- frac{1}{2} ln | frac{x}{2} -1|)$
$intlimits frac{2}{x^{2}-4} dx=2* intlimits frac{1}{x^{2}-4}dx$ => применяем подстановку x=2u:
$=2* intlimits frac{1}{2(u^{2}-1)}du=2* frac{1}{2}* intlimits frac{1}{u^{2}-1}du$
$=2* frac{1}{2} * intlimits frac{1}{-(-u^{2}+1)}du=2* frac{1}{2} (- intlimits frac{1}{-u^{2}+1}$
$=1* frac{1}{2} (-( frac{ln|u+1|}{2}- frac{ln|u-1|}{2} ))$ => обратная замена u=x/2:
$2* frac{1}{2} (-( frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2} - frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2}))$ => упрощаем:
$=2* frac{1}{2} ( frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2}- frac{ln| frac{x}{2} |-1}{2} )$
$= frac{1*2( frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2}- frac{ln |frac{x}{2} -1|}{2} )}{2}$
$= -frac{2 frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2}- frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2} }{2}$
$=- frac{ln | frac{x}{2}+1| }{2}- frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2}$
$=- frac{ln| frac{x}{2}+1 |}{2}+ frac{ln| frac{x}{2}-1 |}{2}$
$=- frac{1}{2} ln| frac{x}{2}+1 |+ frac{1}{2} ln| frac{x}{2}-1 |$
$=-8(- frac{x^{3}}{24} - frac{x}{2}+ frac{1}{2}ln| frac{x}{2} +1|- frac{1}{2} ln| frac{x}{2}-1 |)- frac{1}{2}ln| frac{x}{2}+1 |+ frac{1}{2}ln| frac{x}{2}-1|$
=>упрощаем и получаем ответ:

$boxed{frac{x^{3}}{3}+4x- frac{9}{2}ln| frac{x}{2}+1 |+ frac{9}{2}ln| frac{x}{2}-1 | +C}$