Question

В квадрате 140 $times$ 140 закрашено несколько клеток. В каждой строчке есть либо $1$, либо $7$ закрашенных клеток, а в каждом столбце есть либо $3$, либо $4$ закрашенных клетки. Какое наименьшее число клеток может быть закрашено?

Answer 1

Не лень по восьмому разу одну и туже задачу спрашивать?
Если в каждом столбце по 3 закрашенных клетки, то всего 3*140=420 закрашенных клеток.
Если в каждом столбце по 4 закрашенных клетки, то всего 4*140=560 закрашенных клеток.
Значит, количество клеток 420 <= N <= 560.
Пусть будет a столбцов по 4 клетки и b столбцов по 3 клетки.
4a + 3b = N
a + b = 140; b = 140 - a
А по строкам пусть x строк по 7 клеток и y строк по 1 клетке.
7x + y = N
x + y = 140; y = 140 - x
Получаем такое уравнение с 2 неизвестными:
4a + 3(140 - a) = 7x + 140 - x = N --> min
4a + 420 - 3a = 6x + 140
a + 280 = 6x
Наименьшее решение:
x = 47, потому что 47*6 = 282 - наименьшее кратное 6, больше 280
Тогда а = 2, b = 140 - 2 = 138; y = 140 - 47 = 93.
N = 4a + 3b = 4*2 + 3*138 = 7x + y = 7*47 + 93 = 422