Question

Докажите, что сумма кубов n первых натуральных чисел равна $frac{n^{2}(n+1)^{2} }{4}$

Answer 1

Методом математический индукции.

База индукции
n=1
$1^3=1; frac{1^2*(1+1)^2}{4}=1; 1=1$
-выполняется

Гипотеза индукции Пусть для n=k, утверждение верно, т.ею
$1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3=frac{k^2(k+1)^2}{4}$

Индукционный переход, докажем, что тогда верно утвеждение при n=k+1, т.е.
$1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=$
используем гипотезу
$frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=$
выносим общий множитель
$(k+1)^2(frac{k^2}{4}+(k+1))=$
к общем знаменателю
$frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=$
используем формулу квадрата двучлена
$frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
что и требовалось доказать.

По принципу математеческой индукции утверждение верно