Question

Помогите решить. Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью 0,001

Answer 1

Рассмотрим функцию
$f(x)=mathop{mathrm{arctg}}x-x+dfrac{x^3}3$

Оценим её максимальное значение на отрезке $[0,1/4]$. На этом отрезке она дифференцируема,
$f'(x)=dfrac1{1+x^2}+(1+x^2)-2=dfrac{x^4}{1+x^2}leqslant x^4leqslantleft(dfrac 14right)^4 textless dfrac1{250}=0.004$
$0leqslant f(x)leqslant f(0)+0.004cdotdfrac14=0.001$

$displaystyleint_{-0.5}^0mathop{mathrm{arctg}}x^2,dx=int_{-0.5}^0left(x^2-dfrac{x^6}3right),dx+int_{-0.5}^0 f(x^2),dx$

Оцениваем второй интеграл:
$displaystyle left|int_{-0.5}^0 f(x^2),dxright|leqslantint_{-0.5}^0left|f(x^2)right|,dxleqslantint_{-0.5}^00.001,dx textless 0.001$
Его значение меньше допустимой погрешности, его можно отбросить.

$displaystyleint_{-0.5}^0mathop{mathrm{arctg}}x^2,dxapproxint_{-0.5}^0left(x^2-dfrac{x^6}3right),dx=left.dfrac{x^3}3-dfrac{x^7}{21}right|_{-0.5}^0=\=dfrac1{24}-dfrac1{2688}=dfrac{37}{896}approx0.041$

Ответ. 0,041