Question

Вычислить несобственный интеграл или указать его расходимость

Answer 1

$intlimits^2_1 { frac{1}{ sqrt[3]{ (2x-2)^5 } } , dx$

Вроде бы нормальный интеграл, но подынтегральная функция в точке x=1 терпит бесконечный разрыв.

Возьмём интеграл путём приведения дифференциала к виду, когда интеграл станет табличным. Интеграл будем вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, правда, модифицированной для несобственных интегралов подобного рода.

$intlimits^2_1 { frac{1}{ sqrt[3]{ (2x-2)^5 } } , dx = intlimits^2_1 (2x-2)^{-5/3} dx = frac{1}{2} intlimits^2_1 (2x-2)^{-5/3} d(2x) =$

$= frac{1}{2} intlimits^2_1 (2x-2)^{-5/3} d(2x-2) = - frac{3}{4} lim_{a to inft{1_{+0}}} (2x-2)^{-2/3} |_a^2 = \ \ = - frac{3}{4} lim_{a to inft{1_{+0}}} frac{1}{ sqrt[3]{(2x-2)^2} } |_a^2 = - frac{3}{4} ( frac{1}{sqrt[3]{4}} - lim_{a to inft{1_{+0}}} frac{1}{ sqrt[3]{(2x-2)^2}} ) = \ \ - frac{3}{4} ( frac{1}{sqrt[3]{4}} - infty ) = +infty$

Несобственный интеграл расходится.