Question

Найдите все пары двузначных натуральных чисел, у которых среднее геометрическое в 25/24 раза меньше среднего арифметического. В ответе укажите наибольшее из средних геометрических для всех таких пар.

Answer 1

Пусть х и у - двузначные натуральные числа.
$frac{x+y}{2}$ среднее арифметическое
$sqrt{xy}$ - среднее геометрическое

$frac{x+y}{2} = frac{25}{24} sqrt{xy}$ - по условию

Решаем относительно у, как обычное квадратное уравнение, через дискриминант:

$12 (x+y) = 25 sqrt{xy} \ \ 144(x+y)^2=625xy \ \ 144x^2 +288xy +y^2 = 625xy \ \ 144y^2 -377xy+144x^2 = 0 \ \ y_1 = frac{16}{9} x \ y_2 = frac{9}{16} x$

Осталось подобрать такие двузначные х, чтобы у был тоже двузначным. Для первого корня иксы такие: 18, 27, 36, 45 и 54, а игрек, соответственно: 32, 48, 64, 80 и 96. Для второго корня значения иксов и игреков поменяются местами.

х = 18, у = 32
x = 27, y = 48
x = 36, y = 64
x = 45, y = 80
x = 54, y = 96

Наибольшее среднее геометрическое из указанных пар:
$sqrt{54*96} = sqrt{6*9*6*16} =6*3*4 = 72$