Question

1) Найти производную и дифференциал третьего порядка функций:
а) y = 3x²-4x+5
б) y = ln3x
в) y = Sin(1-2x)

2) Вычислить пределы функций, используя правила Лопиталя:
а) limₓ₋₃(2x-6)/(x³+27)
б) limₓ₋∞(3x²-x-2)/(x²+x-1)
в) limₓ₋₀(sin2x)/(sinx)
г) limₓ₋₀(eˣ-1)/(tgx)

Answer 1

1) Дифференциал функции у = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной х:

$dy = f '(x)dx$ или $dy = y' dx$

На практике достаточно найти производную и умножить её на dx. Дифференциал третьего порядка? Находим третью производную и умножаем на dx.

а) $y = 3x^2-4x+5$
$y' = 6x -4 \ \ y'' = 6 \ \ y''' = 0$

dy = 0*dx =0

б) $y = ln3x$
$y' = (ln3x)' = frac{3}{3x} = frac{1}{x} \ \ y'' = - frac{1}{x^2} \ \ y''' = frac{2}{x^3}$

$dy = frac{2}{x^3} dx$

в) $y = sin(1-2x)$
$y' = -2cos(1-2x) \ \ y'' = -4sin(1-2x) \ \ y''' = 8cos(1-2x)$

$dy = 8cos(1-2x)dx$

2)
а) Просто подставляем х=3 и считаем:
$lim_{x to inft3} frac{2x-6}{x^3+27} = frac{2*3-6}{3^3+27} = frac{0}{54}=0$

б) Числитель и знаменатель делим на максимальную степень переменной икс, т.е. на x²:

$lim_{x to infty} frac{3x^2-x-2}{x^2+x-1} = lim_{x to infty} frac{3- frac{1}{x} - frac{2}{x^2} }{1+ frac{1}{x} - frac{1}{x^2} } = frac{3- frac{1}{infty}- frac{2}{infty^2} }{1+ frac{1}{infty}- frac{1}{infty^2} } = frac{3-0-0}{1+0-0} = 3$

в) Используем формулу синус двойного угла
$lim_{x to inft0} frac{sin2x}{sinx} = lim_{x to inft0} frac{2sinxcosx}{sinx} = 2 lim_{x to inft0} cosx =2*1 =2$

г) используется сначала первый замечательный предел, а потом второй замечательный предел, вернее следствие из второго замечательного предела, а именно:
$lim_{x to inft0} frac{e^x-1}{x} = 1$

$lim_{x to inft0} frac{e^x-1}{tgx} = lim_{x to inft0} frac{e^x-1}{ frac{sinx}{cosx} } = lim_{x to inft0} cosx frac{e^x-1}{ sinx} = \ \ = lim_{x to inft0} cosx * lim_{n to inft0} frac{e^x-1}{ sinx} = 1 * lim_{x to inft0} frac{ frac{e^x-1}{x} }{ frac{sinx}{x} } = \ \ = frac{ lim_{x to inft0}frac{e^x-1}{x} }{ lim_{x to inft0} frac{sinx}{x} } =frac{ lim_{x to inft0}frac{e^x-1}{x} }{ 1} = lim_{x to inft0}frac{e^x-1}{x} } = 1$