Question

нужно подробное решение
Найти координаты точки, симметричной точке А(1 ; 0 ; 1) относительно прямой х/1=(у+1)/2=(z+2)/-1

Answer 1

Точка А1, симметричная точке А относительно прямой  $l$ , лежит на перпендикуляре, проведённым из точки А к этой прямой.
Причём точка пересечения перпендикуляра и заданной прямой является серединой отрезка АА1. 
Перпендикуляр из точки А к прямой  $l$  можно провести в плоскости, перпендикулярной прямой  $l$  .
Составим уравнение перпендикулярной плоскости, учитывая, что направляющий вектор прямой  $l$  будет нормальным вектором плоскости  и точка А лежит в этой плоскости.

$l:; ; frac{x}{1}=frac{y+1}{2}=frac{z+2}{-1}quad to quad vec{s}=(1,2,-1) =vec{n}\\A(1,0,1)in pi \\pi :; ; 1cdot (x-1)+2cdot (y-0)-1cdot (z-1)=0\\pi :; ; x+2y-z=0$

Найдём точку пересечения прямой $l$  и плоскости  $pi$ . 
Запишем предварительно уравнение прямой в параметрическом виде:

$l:; ; left{begin{array}{c}x=t\y=2t-1\z=-t-2end{array}right \\x+2y-z=t+2(2t-1)-(-t-2)=0\\t+4t-2+t+2=0; ,; ; 6t=0; ,; ; t=0\\x_0=0; ,; ; y_0=2cdot 0-1=-1; ,; ; z_0=-0-2=-2\\A_0(0,-1,-2)$

Точка  $A_0$  является серединой отрезка  $AA_1$  .
Найдём координаты  $A_1$  .

$x_{A_0}=frac{x_{A_1}+x_{A}}{2}; ,; y_{A_0}=frac{y_{A_1}+y_{A}}{2}; ,; z_{A_0}=frac{z_{A_1}-z_{A}}{2}\\x_{A_1}=2x_{A_0}-x_{A}=2cdot 0-1=1\\y_{A_1}=2y_{A_0}-y_{A}=2(-1)-0=-2\\z_{A_1}=2z_{A_0}-z_{A}=2(-2)-1=-5\\underline {A_1(1,-2,-5)}$