Question

Дана последовательность, начинающаяся с единицы, в которой каждый следующий член равен удвоенной сумме всех предыдущих. Найти наименьшее число, чтобы элемент под этим номером делился на 3 в 2017 степени

Answer 1

Рассмотрим последовательность {Sn}, в которой на n-ом месте стоит сумма всех членов исходной последовательности с номерами от 1 до n.
Заметим, что k-й член исходной последовательности выражается через Sk и S(k-1):
$a_k=(a_1+a_2+dots+a_{k-1}+a_k)-(a_1+a_2+dots+a_{k-1})=S_k-S_{k-1}$

Так как $a_k=2S_{k-1}$, то  $S_k=S_{k-1}+2S_{k-1}=3S_{k-1}$.
Это рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии со знаменателем 3, решение известно, $S_k=3^{k-1}S_1=3^{k-1}$ (здесь учтено, что $S_1=a_1=1$).

Тогда при $k textgreater 1$
$a_k=S_k-S_{k-1}=3^{k-1}-3^{k-2}=3^{k-2}(3-1)=2cdot3^{k-2}$

Очевидно, $a_k$ делится на $3^{2017}$, если $k-2geqslant2017$, $kgeqslant2019$.

Ответ. 2019