Question

Число 602 представили в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих слагаемых было наибольшим из возможных.

Answer 1

Пусть мы число 602 разбиваем на n одинаковых чисел x, т.е. n * x = 602.
Только так мы добьёмся максимального произведения:
$x^{ frac{602}{x} }$

Найдём этот максимум, проанализировав функцию с помощью производной.

$[x^{ frac{602}{x}}]' = [e^{lnx^{ frac{602}{x}}}]' = [ e^{frac{602}{x}lnx} ]' = e^{frac{602}{x}lnx} *[frac{602}{x}lnx]' = \ \ =e^{frac{602}{x}lnx} *( -frac{602}{x^2}lnx + frac{602}{x^2} ) = -frac{602}{x^2} x^{ frac{602}{x}} *( lnx - 1 )=0 \ \ lnx - 1 = 0 \ \ x = e$

Т.о. при x = e  получаем максимальное произведение, равное
$e^{ frac{602}{e} }$

В виду того, что числа д.б. натуральные, то выбираем между x=2 и x= 3.
Проверка показывает, что
$2*3^{200} textgreater 2^{301} \ \ 9^{100} textgreater 8^{100}$

Итак, имеем 201 слагаемое, одно из которых 2, остальные 3.