Question

Решите уравнение:
$sin(x)+sqrt{frac{2-sqrt{3}}{2}(cos(x)-1)}=0$

Answer 1

$sqrt{ frac{2- sqrt{3} }{2}(cos(x)-1) } =-sin(x)$
Корень арифметический, то есть неотрицательный.
Значит, правая часть неотрицательна.
-sin x >= 0
sin x <= 0
Решение sin x = 0, cos x = 1 подходит, x1 = 2pi*k.
Решение sin x = 0, cos x = -1 не подходит.
ОДЗ: x ∈ (-pi + 2pi*k; 2pi*k]
Возводим левую и правую часть в квадрат
$frac{2- sqrt{3} }{2}*cos(x) - frac{2- sqrt{3} }{2}=sin^2(x)=1-cos^2(x)$
$cos^2(x)+ frac{2- sqrt{3} }{2}*cos(x)- frac{2- sqrt{3} }{2}-1=0$
$2cos^2(x)+ (2- sqrt{3})*cos(x)+ (-4+ sqrt{3})=0$
Получили квадратное уравнение относительно cos x.
$D=(2- sqrt{3} )^2-4*2(-4+ sqrt{3} )=4-4 sqrt{3}+3+32-8 sqrt{3}= \ =39-12 sqrt{3}=36-2*6 sqrt{3}+3=(6- sqrt{3} )^2$
$cos(x1)= frac{-2+ sqrt{3}-6+ sqrt{3} }{4} = frac{-4+ sqrt{3} }{2} textless -1$ - не подходит
$cos(x2)=frac{-2+ sqrt{3}+6- sqrt{3} }{4} = frac{4}{4} =1$
Получили тоже самое решение, cos x = 1, sin x = 0
Ответ: x = 2pi*k