Question

Решите уравнение :5^(2x)=3^(2x)+2*5^x+2*3^x

Answer 1

Представим уравнение в виде $5^{2x}-2cdot5^x+1=3^{2x}+2cdot3^x+1$

Заметим, что в левой и правой сторонах уравнения стоят полные квадраты. Перенесём всё в одну часть и разложим по формуле разности квадратов.
$(5^x-1)^2=(3^x+1)^2\ (5^x-1)^2-(3^x+1)^2=0\ (5^x+3^x)(5^x-3^x-2)=0quad|:5^x+3^x textgreater 0\ 5^x-3^x-2=0\ 5^x-3^x=2$

Подбором находим корень x = 1.

Других корней у уравнения нет:

- При x > 0 функция 
$y(x)=5^x-3^x=3^xleft(left(dfrac53right)^x-1right)$
возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций, поэтому на этом промежутке у уравнения может быть не более одного корня.
- При x ≤ 0 $5^x-3^xleqslant5^xleqslant5^0=1$

Ответ. x = 1