Question

Пожалуйста объясните подробно как из первой системы преобразовали вторую, используя формулы двойного аргумента.

Answer 1

Формула косинуса двойного аргумента, которой мы будем пользоваться:
$cos2x=cos^2x-sin^2x$



Согласно основному тригонометрическому тождеству, 
$sin^2x=1-cos^2x.$ 

Исходя из этого, преобразуем:

$cos2x = cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=cos^2x-1+cos^2x=$
$=2cos^2x-1.$

Мы получили, что $cos2x=2cos^2x-1$ , откуда следует, что $cos^2x= dfrac{cos2x+1}{2} .$



Мы выразили косинус двойного угла через косинус. Теперь выразим косинус двойного угла через синус, воспользовавшись тем же основным тригонометрическим тождеством (т.е. $cos^2x=1-sin^2x$ ) :

$cos2x=cos^2x-sin^2x=1-sin^2x-sin^2x=1-2sin^2x.$

Мы получили, что $cos2x=1-2sin^2x$ , откуда следует, что $sin^2x=dfrac{1-cos2x}{2} .$


В системе нам дано уравнение $sin^2x+cos^2y= dfrac{1}{2} .$
Исходя из выше доказанных формул, заменим $sin^2x$ на $dfrac{1-cos2x}{2}$ , а $cos^2y$ на $dfrac{cos2y+1}{2}$ . Получим:

$dfrac{1-cos2x}{2}+dfrac{cos2y+1}{2}= dfrac{1}{2} \ \ dfrac{1-cos2x+cos2y+1}{2} = dfrac{1}{2} \ \ 1-cos2x+cos2y+1=1 \ 1-cos2x+cos2y=0 \ cos2y-cos2x=-1.$