Question

Помогите пожалуйста, 40б найти неопределённый интеграл, надо полное решение с фото

Answer 1

На фото задания 40б нет, поэтому решаю всё, что есть:

А.
Приведём подобные разобьём интеграл суммы на сумму интегралов:

$intlimits {(4x^4 + 5x^4 + cos(x^2+6)x)} , dx = intlimits {(9x^4 + cos(x^2+6)x)} , dx = \ \ intlimits {9x^4} , dx + intlimits {cos(x^2+6)x} , dx$

Первый интеграл по правилам интегрирования степенной функции:

$intlimits {9x^4} , dx = 9* frac{1}{4+1} x^{4+1} +C_1 = frac{9}{5} x^5 + C_1$

Для взятия второго интеграла приведём его к виду, когда дифференциал совпадает аргументом косинуса, чтобы воспользоваться табличным интегралом от косинуса.
Косинус умножается на x, если икс загнать под дифференциал, то получится: $x*dx = frac{1}{2} dx(x^2)$. А константа приплюсовывается без проблем, т.к. её производная равна нулю:
$x*dx = frac{1}{2} dx(x^2+6)$

Итак, находим второй интеграл:

$intlimits {cos(x^2+6)x} , dx = frac{1}{2} intlimits {cos(x^2+6)} , d(x^2) = \ \ frac{1}{2} intlimits {cos(x^2+6)} , d(x^2+6) = frac{1}{2} sin(x^2+6) + C_2$

А теперь суммируем оба решения:

$intlimits {(4x^4 + 5x^4 + cos(x^2+6)x)} , dx = frac{9}{5} x^5 + frac{1}{2} sin(x^2+6) + C$

Б.
Для вычисления интеграла находим частное, появится простая степенная функция с отрицательными степенями:

$intlimits { frac{x^2 -5x}{x^6} } , dx = intlimits { (x^{-4} -5x^{-5}) } , dx = \ \ = frac{1}{-4+1} x^{-4+1} - 5* frac{1}{-5+1} x^{-5+1} + C = \ \ = -frac{1}{3} x^{-3} + frac{5}{4} x^{-4} + C =$