Question

Решите систему неравенств:

$displaystyle left { {{ frac{(|2x+1|-x-2)(log_{ frac{1}{3}}(x+4)+1) }{2^{x^2}-2^{|x|} } geq 0atop { frac{log_{x^2}( frac{x+2}{x^2}) }{2^{x^2}-2^{2-x^2}+ sqrt{2}} } leq 0} right.$

Answer 1

$displaystyle left { {{ displaystylefrac{(|2x+1|-x-2)(log_{ frac{1}{3}}(x+4)+1) }{2^{x^2}-2^{|x|} } geq 0 atop {displaystyle frac{log_{x^2}( frac{x+2}{x^2}) }{2^{x^2}-2^{2-x^2}+ sqrt{2}} } leq 0} right.$

Решим эту систему последовательно. Для начале найдем решения первого неравенства, потом второго и в конце их пересечение.
И так, разберемся с первым неравенством.

$displaystylefrac{(|2x+1|-x-2)(log_{ frac{1}{3}}(x+4)+1) }{2^{x^2}-2^{|x|} } geq 0$

Найдем все значения, в которых эта функция обращается в 0.
Первая скобка:
$|2x+1|-x-2=0\\ left[begin{array}{ccc}2x+1-x-2=0\-2x-1-x-2=0end{array}right= textgreater left[begin{array}{ccc}x-1=0\-3x-3=0end{array}right= textgreater boxed{left[begin{array}{ccc}x=1\x=-1end{array}right}$

Вторая скобка:
$displaystyle log_{frac{1}3}(x+4)+1=0\\log_{frac{1}3}(x+4)=-1\\x+4=bigg(frac{1}3bigg)^{-1}\\x+4=3\\boxed{x=-1}$

Знаменатель:
$2^{x^2}-2^{|x|}=0\\ left[begin{array}{ccc}2^{x^2}-2^x=0\2^{x^2}-2^{-x}=0end{array}right= textgreater left[begin{array}{ccc}2^{x^2}=2^x\2^{x^2}=2^{-x}end{array}right= textgreater left[begin{array}{ccc}x^2=x\x^2=-xend{array}right= textgreater \\\ = textgreater left[begin{array}{ccc}x(x-1)=0\x(x+1)=0end{array}right= textgreater left[begin{array}{ccc}x=0\x=1\x=0\x=-1end{array}right= textgreater boxed{left[begin{array}{ccc}x=0\x=1\x=-1end{array}right}$

Теперь отметим все эти точки на числовой прямой:
$underline{quad quad quad quad -1quad quad quad quad 0quad quad quad quad 1quad quad quad quad quad quad }$

Подставляя точки из промежутков в исходное неравенство можно определить знак промежутка.
$underline{quad quad +quad quad -1quad quad -quad quad 0quad quad -quad quad 1quad quad quad- quad quad quad }$

Не стоит забывать об ОДЗ:
$displaystyle left { {{x+4 textgreater 0} atop {x textless -1}} right. = textgreater left { {{x textgreater -4} atop {x textless -1}} right. = textgreater boxed{xin(-4;-1)}$

Разберемся со вторым неравенством.
$displaystyle frac{log_{x^2}( frac{x+2}{x^2}) }{2^{x^2}-2^{2-x^2}+ sqrt{2}} } leq 0$

Найдем все значения, в которых эта функция обращается в 0.
Числитель:
$displaystyle log_{x^2}bigg(frac{x+2}{x^2}bigg)=0\\text{ODZ:} begin{cases} displaystyle x^2 neq 1\x^2 textgreater 0\ displaystyle frac{x+2}{x^2} textgreater 0 end{cases}= textgreater begin{cases} displaystyle x neq б1\x neq 0\ displaystyle x textgreater -2 end{cases}\\frac{x+2}{x^2}=(x^2)^0\\frac{x+2}{x^2}=1\\x+2=x^2\\x^2-x-2=0\\D=1+4*2=9\\x_1=frac{1+3}{2}=boxed{2}\\x_2=frac{1-3}2=-1notin text{ODZ}$

Знаменатель:
$displaystyle 2^{x^2}-2^{2-x^2}+sqrt2=0\\2^{x^2}-2^2*frac{1}{2^x}+sqrt2=0\\2^{x^2}=t,,,,,t textgreater 0\\t-frac{4}t+sqrt2=0\\t^2+tsqrt2-4=0\\D=sqrt{2^2}-4*(-4)=2+16=18\\t_1=frac{-sqrt2-sqrt{18}}{2} textless 0,,,,,(t textgreater 0)\\t_2=frac{-sqrt2+sqrt{18}}2=frac{-sqrt2+3sqrt2}{2}=frac{2sqrt2}{2}=sqrt2\\t=sqrt2\\2^{x^2}=2^{frac{1}2}\\x^2=frac{1}2\\x=бfrac{1}{sqrt2}=boxed{бfrac{sqrt2}2}$

Теперь отметим все эти точки на числовой прямой (с точками из ОДЗ) и найдем знаки промежутков (точка 2 не выколота):
$displaystyle underline{quad -quad-1quad -quad -frac{sqrt2}2 quad +quad0 quad +quad frac{sqrt2}2 quad-quad 1 quad +quadquad 2 quad quad -quad}$

Не забывая про ОДЗ запишем ответ:
$displaystyle left { {{xin (-infty;-1)U(-1;-frac{sqrt2}2)U(frac{sqrt2}2;1)U[2;+infty)} atop {x textgreater -2}} right. = textgreater \\\= textgreater boxed{xin(-2;-1)Ubigg(-1;-frac{sqrt2}2bigg)Ubigg(frac{sqrt2}2;1bigg)U[2;+infty)}$

И, наконец, найдем пересечение двух неравенств:
$displaystyle left { {{xin(-4;-1)} atop {xin(-2;-1)Ubigg(-1;-frac{sqrt2}2bigg)Ubigg(frac{sqrt2}2;1bigg)U[2;+infty)} right. = textgreater boxed{xin(-2;-1)}$

Ответ: (-2;-1)

Answer 2

Красотища-то какая) еще раз спасибо, Саш))

Answer 3

во втором ОДЗ x>-2 МИНУС потерял((

Answer 4

Много в коде displaystyle одного достаточно ) а так красиво!!!

Answer 5

первая код формула не вышла