Question

Исследовать функцию f(x) на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют.

Answer 1

Утверждение:

Функция $f$ непрерывна в $mathbb Rsetminus {2}$.

Доказательство:

Для всех $x leq 1$, функция $f$ является постоянной.

Следовательно, для всех $x_0 textless 1$ выполняется:

$displaystyle lim_{x to x_0} f(x)=1=f(x_0)$ 

Т.е. данная функция непрерывна в $(-infty,1)$.

Докажем что,

$displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1)=1$

Для этого достаточно найти односторонние пределы:

 $displaystyle lim_{x to 1^-} f(x), lim_{x to 1^+} f(x)$

Для всех $x textless 1$ выполняется $f(x)=1$, следовательно:

$displaystyle lim_{x to 1^-} f(x) =1=f(1)$

Для всех $1 textless x leq 2$ выполняется $f(x)=2-x^2$, следовательно:

$displaystyle lim_{x to 1^+} f(x) =displaystyle lim_{x to 1^+} (2-x^2)=2-1=1=f(1)$

Отсюда следует:

$displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1)$

Следовательно, $f$ непрерывна в $x=1$.

Для всех $x textgreater 2$, выполняется $f(x)=x-1$.

Следовательно, для всех $x_0 in (2,+infty)$ выполняется:

$displaystyle lim_{x to x_0} f(x)= lim_{x to x_0} (x-1)=x_0-1=f(x_0)$

Т.е. $f$ непрерывна в $(2,+infty)$.

Таким же образом, $f$ непрерывна в $(1,2)$, т.к.:

$displaystyle lim_{x to x_0} f(x)=lim_{x to x_0} (2-x^2)=2-x_0^2=f(x_0)$

Для всех $x_0 in (1,2)$.

Теперь докажем что $x_0=2$ точка разрыва типа "скачок":

Для всех $1 textless x textless 2$, $f(x)=2-x^2$ следовательно:

$displaystyle lim_{x to 2^-}f(x)= lim_{x to 2^-} (2-x^2)=2-2^2=-2$

Однако, для всех $x textgreater 2$, $f(x)=x-1$. Следовательно:

$displaystyle lim_{x to 2^+}f(x)= lim_{x to 2^+}(x-1)=2-1=1$

Т.е. $displaystyle lim_{x to 2^+}f(x)nelim_{x to 2^-}f(x)$.

В итоге, получаем что $f$ непрерывна в $mathbb R setminus{2}$.

Ч.Т.Д.