Question

При каких значениях параметра а уравнения ( а -2 )(х+1)= 0 и а^2+х=2а-1 равносильны ?

Answer 1

$(a-2)(x+1)=0$
Данное уравнение, независимо от параметра $a$ , всегда имеет корень $x=-1$ . А если $a=2$ , то уравнение имеет бесконечно много решений.

Два уравнения будут равносильными, если все решения первого уравнения совпадают со всеми решениями второго уравнения, и наоборот.

Значит, если $x=-1$ является единственным корнем первого уравнения (при условии $a neq 2$ ), то уравнения будут равносильны тогда и только тогда, когда $x=-1$ является единственным решением и второго уравнения.
Подставляем $x=-1$ во второе уравнение:
$a^2+(-1)=2a-1 \ a^2=2a \ a^2-2a=0 \ a(a-2)=0 \ a_1=0, a_2=2 .$
Но $a=2$ не подходит, потому что при этом параметре у первого уравнения бесконечно много решений, а у второго ровно одно.

Ответ: $a=0$.