Question

Даны вершины треугольника ABC. Найти:
1. уравнение стороны ab
2. уравнение высоты Ch
3. уравнение медианы am
4. точку n пересечения медианы am и высоты Ch
5. уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ab
6. расстояние от точки c до прямой ab


Координаты вершин : A(-4;2) B(8;-6); C(2;6)

Answer 1

$A(-4;2), B(8;-6), C(2;6).$


1) Уравнение стороны $AB$ это уравнение прямой, проходящей через точки $(-4;2)$ и $(8;-6)$. Исходя из этого составим систему уравнений:$begin{cases} & -4a+b=2 \ & 8a+b=-6 end{cases}$
Откуда после вычитания второго из первого получим $a=- dfrac{2}{3}$ и $b= -dfrac{2}{3}$. Получили, что сторона $AB$ задаётся уравнением $y= -dfrac{2}{3} x- dfrac{2}{3}$.


2) Прямые, заданные уравнениями $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ будут перпендикулярны, если $k_1cdot k_2 =-1$ , коэффициенты $k_1$ и $k_2$ называются угловыми коэффициентами. 
Нам же нужно найти уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой $y= -dfrac{2}{3} x- dfrac{2}{3}$. Тогда $k_2= dfrac{-1}{k_1} = dfrac{-1}{ -dfrac{2}{3}} =1,5$ , где $k_2$ - это угловой коэффициент прямой $CH_C$. Получаем, что эту прямую можно записать в виде $y=1,5x+b$ . Теперь, зная, что эта прямая проходит через точку $(2;6)$ , найдём $b$ :
 $1,5cdot2+b=6$ , откуда $b=3$ . Получается, что высота $CH_C$ задаётся уравнением $y=1,5x+3$.


3) Медиана $AM_A$ делит отрезок $BC$ пополам. Вычислим координаты середины отрезка $BC$ , т.е. точку пересечения медианы со стороной $BC$ : $M_Aleft( dfrac{2+8}{2}; dfrac{6+(-6)}{2} right)=M_Aleft(5;0right)$ .
Получается, что медиана проходит через точки $(5;0)$ и $(-4;2)$ . Найдём её уравнение по этим данным: 
$begin{cases} & acdot5+b=0 \ & acdot(-4)+b=2 end{cases}$
Откуда получаем $a= -dfrac{2}{9}$ и $b= dfrac{10}{9}$ .
Значит, медиана задаётся уравнением $y= -dfrac{2}{9} x+ dfrac{10}{9}$ .


4) Точку пересечения $N$ медианы $AM_A$ и высоты $CH_C$ найдём, решив соответствующую систему уравнений:

$begin{cases} & y=-frac{2}{9}x+frac{10}{9} \ & y=frac{3}{2}x+3 end{cases} Leftrightarrow -frac{31}{18}x=frac{17}{9} \ Leftrightarrow x=-frac{34}{31} ; y=frac{3}{2}cdotleft(-frac{34}{31}right)+3=frac{42}{31} .$ 

Получили, что медиана $AM_A$ и высота $CH_C$ пересекаются в точке $Nleft( -dfrac{34}{31} ; dfrac{42}{31} right)$ .


5) Семейство прямых, параллельных прямой $y= -dfrac{2}{3} x- dfrac{2}{3}$ , выглядит следующим образом: $y= -dfrac{2}{3} x+b$. Нам нужно, чтобы эта параллельная прямая проходила через точку $(2;6)$ .
Решаем соответствующее уравнение: $6= -dfrac{2}{3} cdot2+b$ , откуда $b= dfrac{22}{3}$ . 
Получили, что нужная нам прямая задаётся уравнением $y=- dfrac{2}{3}x + dfrac{22}{3} .$



6) Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$ вычисляется по формуле $d = dfrac{|ax_0+by_0+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$ . Нам нужно расстояние от точки $C(2;6)$ до прямой $y=- frac{2}{3}x- frac{2}{3} Leftrightarrow 3y+2x+2=0$ .
Подставляем:
$d= dfrac{|2cdot2+3cdot6+2|}{sqrt{3^2+2^2}} = dfrac{24}{sqrt{13}}$.