Question

Помогите решить пожалуйста..

Answer 1

$5^x-( frac{1}{5})^{x-1} leq 4$
$( frac{1}{5})^{x-1} =( 5^{-1})^{x-1}= 5^{1-x}= frac{5}{5^x}$
$5^x- frac{5}{5^x} leq 4$
сделаем замену выражения:
$5^x=a$
$a- frac{5}{a} leq 4|*a$
$a^2-5 leq 4a$
$a^2-4a-5 leq 0$

решим вспомогательное уравнение:

$a^2-4a-5 = 0$
$D = 16+20=6^2$

$a_{1}= frac{4+6}{2} =5$
$a_{2}= frac{4-6}{2} =-1$
обратная замена:
$5^x=5$
$x=1$
или
$5^x=-1$ - невозможно.
Итак, при х=1 выполняет часть неравенства:
$5^x-( frac{1}{5} )^{x-1}=4$
Осталось разобраться с тем, когда левая часть меньше 4.
я предлагаю поработать с графиком *воображаемым* параболы, заданной функцией $f(a)=a^2-4a-5$, ветви которой направлены вверх (коэффициент при старшей степени - положителен) и рассмотреть следующую ее часть (см. рисунок)
Становится очевидно, что решением неравенства служит отрезок:
$1 leq a leq 5$
$1 leq 5^x leq 5$
$0 leq x leq 1$
ответ: x∈[0;1]