Question

исследовать ряд на сходимость

Answer 1

$a_n=frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{3^{n-1}-1}; |a_n|=frac{n+2}{3^{n-1}-1}; limlimits_{nto infty}frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= limlimits_{nto infty}frac{(n+3)(3^{n-1}-1)}{(3^n-1)(n+2)}=$

$=limfrac{n3^{n-1}(1+frac{3}{n})(1-3^{1-n})}{n3^n(1+frac{2}{n})(1-3^{-n})}=frac{1}{3} textless 1$

Поэтому по признаку Даламбера ряд $sum |a_n|$ сходится, откуда следует, что ряд $sum a_n$сходится абсолютно.

Просьба найти второй член ряда не продублирована в предисловии, поэтому я искать его не буду. Тем более, что просьба неоднозначна - если подставить n=1, мы получаем ноль в знаменателе, поэтому неизвестно, что автор задачи считает вторым членом - $a_2$ или $a_3$.