Question

Исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы
y=-2/3x³+5/2x²-2x-10

Answer 1

для исследований такого типа нужно брать производную, смотреть ее знаки и нули.
в нашем случае
$y = - frac{2}{3}x^3 + frac{5}{2}x^2 - 2x - 10$
$y' = - frac{3*2}{3}x^2 + frac{2*5}{2}x - 2 = -2x^2 + 5x - 2$
Рассмотрим нашу производную $y' = -2x^2 + 5x - 2$ и посмотрим, когда она обращается в 0. Также используем метод интервалов, вам он должен быть знаком
$y' = -2x^2 + 5x - 2 = 0 \ y_1, y_2 = frac{-5 pm sqrt{25 - 4*2*2}}{2*(-2)} = frac{5 pm 3}{4} = \ y_1 = frac{1}{2}, y_2 = 2 \ y' = (x - frac{1}{2})(x - 2)$
Соответственно точки $y_1, y_2$ будут экстремумами (т.к. производная функции в этих точках обращается в 0)
А промежутки монотонности следующие:
$(- infty , frac{1}{2} )$ функция убывает и в точке $frac{1}{2}$ локальный минимум, 
с $( frac{1}{2} , 2)$ возрастает и в т. $2$ локальный максимум,
а с $( frac{1}{2} , + infty)$ снова убывает.